La vida es un juego: Introducción breve a la teoría de juegos

“Lisa: Sólo hay una forma de arreglar esto, piedra, papel o tijeras. (Pensando: Pobre Bart, tan predecible, siempre escoge piedra).
Bart: (Pensando: La buena piedra, nada le gana).
Bart: ¡Piedra!
Lisa: ¡Papel!”

Cuando se trata de tomar decisiones importantes hay personas que analizan de manera muy metódica cada una de las posibles opciones, con el fin de tomar una decisión acertada. Hay quienes, por el contrario, prefieren dejarlo al azar, lanzando una moneda o como en el ejemplo del inicio, resolverlo con un piedra, papel o tijeras. Por más raro que esto parezca, en ambos casos estamos hablando de un juego, y hay una rama de las matemáticas que se encarga de explicarnos. La teoría de juegos.

Definición de juego

Para entenderlo mejor es importante definir primero lo que es un juego. Entonces pensemos en algunos juegos conocidos, tenemos por ejemplo el ajedrez, el juego del gato, poker, UNO, monopoly, etc. Todos ellos tienen varios elementos en común:
1. Participan al menos 2 jugadores.
2. Hay ciertas reglas a seguir, que determinan quien juega, cuando juega y como puede jugar.
3. Hay un resultado asignado a cada elección de jugadas.

Siguiendo esta definición y usando el ajedrez como ejemplo, en la partida todo el tiempo se están tomando decisiones estratégicas respecto a que pieza mover, ya sea para atacar o acorralar al rival o para proteger alguna pieza que consideremos valiosa. Todo es una estrategia que se va formando en tiempo real conforme vemos las jugadas del oponente. Hay jugadas que pueden ayudarte a ganar ventaja numérica(tener más piezas) o ventaja posicional, pero también hay jugadas en las que se ponen en riesgo piezas, a veces de manera intencional como sacrificio y en ocasiones de manera ingenua. Pero, ¿cómo determinamos que una jugada es buena o es mala?

Ganancias

En el contexto del ajedrez resulta muy complicado evaluar si una jugada es buena o mala, ya que eso involucra la posición actual de las piezas, la pieza movida, la estrategia del rival. Para explicar mejor la evaluación de jugadas, vamos a bajar un poco la dificultad, y analizaremos un juego más sencillo “Piedra, papel o tijeras”.

En este juego sólo tenemos 3 posibles jugadas, elegir piedra, elegir papel o elegir tijeras. Y esa elección junto a la elección del rival nos dará un posible resultado: ganar, perder o empatar. Con esto claro, podemos construir una matriz de ganancias, en donde analizamos todos los posibles casos de ganancia y su posible resultado, donde 0 es empate, 1 es victoria y -1 es derrota.

Jugador 1/Jugador 2	Piedra	Papel	Tijera
Piedra	0, 0	-1, 1	1, -1
Papel	1, -1	0, 0	-1, 1
Tijera	-1, 1	1, -1	0, 0

Analizando esta matriz podemos deducir varias cosas. La primera de ellas es que el empate sólo se da cuando ambos hacen la misma jugada, que la piedra le gana a tijeras, tijeras le gana a papel y papel le gana a la piedra, que con cada elección siempre tienes los mismos 3 resultados y en la misma proporción, es decir 33.3% de probabilidades de ganar, empatar o perder. Para cualquiera que conozca este juego, no resultarán grandes hallazgos, pero nos sirve para ejemplificar la estrategia mixta y el llamado equilibrio de Nash.

Las estrategias mixtas y el equilibrio de Nash

El equilibrio de Nash(nombrado así por el matemático John Nash) en un juego se alcanza cuando ningún jugador puede mejorar su resultado cambiando su estrategia, siempre y cuando los otros jugadores no cambien las suyas. En otras palabras, es una situación en la que todos los jugadores están haciendo lo mejor que pueden, dado lo que están haciendo los demás. Y esto nos lleva a las estrategias mixtas, en donde a diferencia de las estrategias puras(cuando siempre tomas la misma decisión), aquí tienes la opción de cambiar de decisión o de jugada en cada ronda, y al tener cada opción la misma posibilidad de victoria, hace que se vuelva un juego impredecible, a menos que sigas una estrategia pura, lo cual te haría perder en el momento en que tu oponente lo identifique.

La vida es un juego

Ahora que tenemos una noción básica de lo que es la teoría de juegos, podemos volver nuevamente al inicio, en donde hablábamos de tomar decisiones importantes o cotidianas. ¿Realmente estas decisiones del día a día son juegos?

Tomemos por ejemplo el divertido juego de “ir al trabajo”. Para el cual tenemos 3 posibles opciones con las cuales llegar a la oficina. La primera opción involucra un tiempo de traslado de 60 minutos, pero hay que tomar 3 camiones. La segunda opción tiene un tiempo de traslado de 90 minutos, pero sólo hay que tomar un camión. La tercera opción atraviesa el centro de la ciudad y debido al tráfico el tiempo de traslado suele ir de los 50 hasta los 80 minutos y sólo hay que tomar 2 camiones.

Hay que analizar nuestras jugadas de acuerdo con la ganancia que queramos obtener de ellas. Si lo que queremos es ahorrar dinero (asumiremos que el pasaje cuesta $10MXN), la opción 1 nos costaría $30, la opción 2 nos costaría $10 y la opción 3 nos costaría $20. En este sentido nuestra mejor opción siempre será la segunda, gastando solamente $10.

Pero si el dinero no fuera problema, si yo lo que quiero es llegar rápido a mi trabajo, podría parecer buena opción la tercera ruta, pues tarda 50 minutos en el mejor de los casos, pero esto sería como lanzar una moneda al aire (otro ejemplo de juego), pues también puede ocurrir que me tarde 80 minutos. Entonces lo mejor sería tomar la primera opción y asegurar los 60 minutos de traslado.

En primera instancia, podría parecer que esto no es un juego, ya que si hacemos memoria habíamos dicho que en el juego debe haber al menos 2 jugadores y aquí a simple vista sólo hay uno. Pero hay más jugadores implícitos en estas decisiones. Los choferes u otros pasajeros, que con sus decisiones pueden afectar tu estrategia (al no darte la parada, o al saturar el transporte complicando el traslado, con algún accidente, etc.).

En este sentido, podemos modelar casi cualquier situación del día a día, convirtiendo así la vida en un juego, con estrategias muy complejas.